Wavelet transformeren

discrete Golftransformatie

de discrete wavelet-transformatie (DWT) is een implementatie van de wavelet-transformatie met behulp van een discrete verzameling van de wavelet-schalen en vertalingen volgens bepaalde regels. Met andere woorden, deze transformatie ontleedt het signaal in wederzijds orthogonale verzameling wavelets, wat het belangrijkste verschil is met de continue wavelettransformatie (CWT), of de implementatie ervan voor de discrete tijdreeks die ook wel discrete tijd continue wavelettransformatie (DT-CWT) wordt genoemd.

de wavelet kan geconstrueerd worden uit een schaling functie die de schaling eigenschappen beschrijft. De beperking dat de scaling functies orthogonaal moeten zijn ten opzichte van de discrete vertalingen impliceert een aantal wiskundige voorwaarden op hen die overal worden genoemd, B. V. de dilatatievergelijking

waarbij S een schaalfactor is (meestal gekozen als 2). Bovendien moet het gebied tussen de functie worden genormaliseerd en moet de schaling functie orthogonaal zijn aan zijn integer vertalingen, d.w.z.

na het introduceren van wat meer voorwaarden (omdat de beperkingen hierboven geen unieke oplossing produceren) kunnen we resultaten van al deze vergelijkingen verkrijgen, dat wil zeggen de eindige verzameling van coëfficiënten ak die de scaling functie definiëren en ook de wavelet. De wavelet wordt verkregen uit de schaling functie als N waarbij N een even geheel getal is. De verzameling wavelets vormt dan een orthonormale basis die we gebruiken om het signaal te ontbinden. Merk op dat meestal slechts enkele van de coëfficiënten ak zijn nonzero, wat de berekeningen vereenvoudigt.

in de volgende figuur worden enkele wavelet-schalingsfuncties en wavelets uitgezet. De meest bekende familie van orthonormale golfjes is de familie van Daubechies. Haar golfjes worden meestal aangeduid met het aantal niet-nulcoëfficienten ak, dus we hebben het meestal over Daubechies 4, Daubechies 6, enz. wavelets. Grofweg gezegd, met het toenemende aantal wavelet-coëfficiënten worden de functies gladder. Zie de vergelijking van wavelets Daubechies 4 en 20 hieronder. Een andere genoemde wavelet is de eenvoudigste, de haar wavelet, die gebruik maakt van een box functie als de schaling functie.

haar scaling functie en wavelet (links) en hun frequentie inhoud (rechts).

Daubechies 4 scaling functie en wavelet (links) en hun frequentie inhoud (rechts).

Daubechies 20 scaling functie en wavelet (links) en hun frequentie inhoud (rechts).

er zijn verschillende soorten implementatie van het DWT-algoritme. De oudste en meest bekende is het Mallat (piramidaal) algoritme. In dit algoritme worden twee filters – smoothing en non-smoothing one – geconstrueerd uit de wavelet coëfficiënten en deze filters worden herhaaldelijk gebruikt om gegevens te verkrijgen voor alle schalen. Als het totale aantal gegevens D = 2N wordt gebruikt en de signaallengte L is, worden eerst d/2 – gegevens op schaal L/2N – 1 berekend, dan (d/2)/2-gegevens op schaal L/2N-2, … tot uiteindelijk 2-gegevens op schaal L/2 worden verkregen. Het resultaat van dit algoritme is een array van dezelfde lengte als de invoer, waar de gegevens meestal worden gesorteerd van de grootste schalen naar de kleinste.

binnen Gwyddion wordt het piramidale algoritme gebruikt voor het berekenen van de discrete wavelettransformatie. Discrete wavelet transform in 2D is toegankelijk met behulp van de DWT-module.

Discrete wavelettransformatie kan worden gebruikt voor het eenvoudig en snel denoiseren van een luidruchtig signaal. Als we slechts een beperkt aantal van de hoogste coëfficiënten van het discrete wavelet-transformatiespectrum nemen, en we een inverse transformatie uitvoeren (met dezelfde wavelet-basis) kunnen we min of meer gedoniëneerd signaal verkrijgen. Er zijn verschillende manieren om de coëfficiënten die worden gehouden kiezen. Binnen Gwyddion wordt de universele drempelwaarde, schaaladaptieve drempelwaarde en schaal-en ruimteadaptieve drempelwaarde geïmplementeerd. Voor de bepaling van de drempel binnen deze methoden bepalen we eerst de ruis variantie guess gegeven door

waarbij Yij overeenkomt met alle coëfficiënten van de subband van de hoogste schaal van de ontleding (waarbij wordt aangenomen dat het grootste deel van het geluid aanwezig is). Als alternatief kan de ruisvariantie onafhankelijk worden verkregen, bijvoorbeeld van de AFM-signaalvariantie zonder te scannen. Voor de hoogste frequentie subband (universal thresholding) of voor elke subband (voor schaal adaptieve thresholding) of voor elke pixel wijk binnen subband (voor schaal en ruimte adaptief thresholding) de variantie wordt berekend als

Drempelwaarde wordt uiteindelijk berekend als

waar

Wanneer de drempel voor de gegeven schaal is bekend, we kunnen verwijderen van alle coëfficiënten kleiner is dan de drempelwaarde (harde thresholding) of we kunnen lager de absolute waarde van deze coëfficiënten naar drempelwaarde (zachte drempelwaarde).

DWT-denoising is toegankelijk met Data Process → integrale transformaties → DWT Denoise.

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.