Carl Gustav Jacob Jacobi

en av Jacobis största prestationer var hans teori om elliptiska funktioner och deras relation till den elliptiska thetafunktionen. Detta utvecklades i hans stora avhandling Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829) och i senare artiklar i Crelle ’ s Journal. Theta-funktioner är av stor betydelse i matematisk fysik på grund av deras roll i det omvända problemet för periodiska och kvasi-periodiska flöden. Rörelseekvationerna är integrerade när det gäller Jacobis elliptiska funktioner i de välkända fallen av pendeln, Euler-toppen, den symmetriska Lagrange-toppen i ett gravitationsfält och Kepler-problemet (planetrörelse i ett centralt gravitationsfält).

han gjorde också grundläggande bidrag i studien av differentialekvationer och till klassisk mekanik, särskilt Hamilton–Jacobi-teorin.

det var i algebraisk utveckling som Jacobis speciella kraft huvudsakligen låg, och han gjorde viktiga bidrag av detta slag inom många områden av matematik, vilket framgår av hans långa lista över papper i Crelle ’ s Journal och på andra håll från 1826 och framåt. Han sägs ha sagt till sina elever att när man letar efter ett forskningsämne bör man ’invertera, alltid invertera’ (’man muss immer umkehren’), vilket återspeglar hans tro på att invertering av kända resultat kan öppna nya fält för forskning, till exempel invertera elliptiska integraler och fokusera på elliptiska och thetafunktioner.

i sin uppsats från 1835 bevisade Jacobi följande grundläggande resultat som klassificerade periodiska (inklusive elliptiska) funktioner:om en univariat enkelvärderad funktion är multiplicera periodisk, kan en sådan funktion inte ha mer än två perioder, och förhållandet mellan perioderna kan inte vara ett reellt tal. Han upptäckte många av de grundläggande egenskaperna hos theta-funktioner, inklusive funktionell ekvation och Jacobi triple product formula, liksom många andra resultat på q-serien och hypergeometriska serier.

lösningen av Jacobi inversion problem för hyperelliptisk Abel karta av Weierstrass 1854 krävde införandet av hyperelliptisk Theta funktion och senare den allmänna Riemann theta funktion för algebraiska kurvor av godtyckligt Släkte. Den komplexa torus som är associerad med ett släkte g {\displaystyle g}

g

algebraisk kurva, erhållen genom kvotering av C g {\displaystyle {\mathbf {C} }^{g}}

{\mathbf {C} }^{g}

av gallret av perioder kallas Jacobian sorten. Denna metod för inversion, och dess efterföljande förlängning av Weierstrass och Riemann till godtyckliga algebraiska kurvor, kan ses som en högre genus generalisering av förhållandet mellan elliptiska integraler och Jacobi eller Weierstrass elliptiska funktioner.

Carl Gustav Jacob Jacobi

Jacobi var den första som tillämpade elliptiska funktioner på talteori, till exempel bevisar Fermats två-kvadratiska sats och Lagranges fyra-kvadratiska sats och liknande resultat för 6 och 8 rutor.Hans andra arbete i talteori fortsatte C. F. Gauss arbete: nya bevis på kvadratisk ömsesidighet och introduktion av Jacobi-symbolen; bidrag till högre ömsesidighetslagar, undersökningar av fortsatta fraktioner och uppfinningen av Jacobi-summor.

han var också en av de tidiga grundarna av teorin om determinanter. I synnerhet uppfann han den Jacobiska determinanten bildad av N2 partiella derivat av n givna funktioner av n oberoende variabler, som spelar en viktig roll i förändringar av variabler i flera integraler och i många analytiska undersökningar. År 1841 återinförde han den partiella derivatan av beteckningen Legendre, som skulle bli standard.

han var en av de första som introducerade och studerade de symmetriska polynomerna som nu kallas Schur polynomier, vilket ger den så kallade bialternantformeln för dessa, vilket är ett speciellt fall av Weyl-karaktärformeln och härleder Jacobi–Trudi-identiteterna. Han upptäckte också desnanot-Jacobi-formeln för determinanter, som ligger till grund för Pluckerrelationerna för Grassmannians.

studenter av vektorfält, Lie-teori, Hamiltonian mekanik och operatörsalgebror stöter ofta på Jacobi-identiteten, analogen av associativitet för Lie-konsoloperationen.

Planetteori och andra speciella dynamiska problem upptog också hans uppmärksamhet då och då. Samtidigt som han bidrog till himmelmekanik introducerade han Jacobi integral (1836) för ett sideriskt koordinatsystem. Hans teori om den sista multiplikatorn behandlas i Vorlesungen äppelber Dynamik, redigerad av Alfred Clebsch (1866).

Lämna ett svar

Din e-postadress kommer inte publiceras.