David Hilbert

Hilbert solves Gordan’s ProblemEdit

Hilbert’s first work on invariant functions led him to the demonstration in 1888 of his famous finiteness theorem. Vinte anos antes, Paul Gordan tinha demonstrado o teorema da finitude de geradores para formas binárias usando uma abordagem computacional complexa. Tentativas de generalizar seu método para funções com mais de duas variáveis falharam por causa da enorme dificuldade dos cálculos envolvidos. Para resolver o que se tornou conhecido em alguns círculos como Problema de Gordan, Hilbert percebeu que era necessário tomar um caminho completamente diferente. Como resultado, ele demonstrou o teorema da base de Hilbert, mostrando a existência de um conjunto finito de geradores, para os invariantes de quantics em qualquer número de variáveis, mas em uma forma abstrata. Isto é, ao demonstrar a existência de tal conjunto, não era uma prova construtiva — não exibia “um objeto” — mas sim uma prova de existência e dependia do uso da lei do terceiro excluído em uma extensão infinita.Hilbert enviou seus resultados para o Mathematische Annalen. Gordan, a casa de peritos sobre a teoria dos invariantes para o Mathematische Annalen, não poderia apreciar a natureza revolucionária do teorema de Hilbert e rejeitou o artigo, criticando a exposição porque foi suficientemente abrangente. Seu comentário foi:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.(Isto não é matemática. Isto é Teologia.)

Klein, por outro lado, reconheceu a importância do trabalho, e garantiu que ele seria publicado sem quaisquer alterações. Encorajado por Klein, Hilbert estendeu seu método em um segundo artigo, fornecendo estimativas sobre o grau máximo do conjunto mínimo de geradores, e ele enviou mais uma vez para os Annalen. Depois de ter lido o manuscrito, Klein escreveu para ele, dizendo:

sem dúvida este é o trabalho mais importante sobre álgebra geral que o Annalen já publicou. Mais tarde, depois que a utilidade do método de Hilbert foi universalmente reconhecida, o próprio Gordan diria: eu me convenci de que até a teologia tem seus méritos.

por todos os seus sucessos, a natureza de sua prova criou mais problemas do que Hilbert poderia ter imaginado. Apesar de Kronecker tinha concedido, Hilbert mais tarde iria responder a outros semelhantes críticas que “muitos diferentes construções são reunidos sob uma idéia fundamental” — em outras palavras (para citar Reid): “Através de uma prova da existência, Hilbert tinha sido capaz de obter uma construção”; “a prova” (i.e. os símbolos na página) foi “o objeto”. Nem todos estavam convencidos. Enquanto Kronecker morreria logo depois, sua filosofia construtivista continuaria com o jovem Brouwer e seu desenvolvimento intuicionista “escola”, muito para o tormento de Hilbert em seus últimos anos. Na verdade, Hilbert perderia seu “aluno dotado” Weyl para o intuicionismo — “Hilbert foi perturbado pela fascinação de seu ex-aluno com as ideias de Brouwer, que despertou em Hilbert a memória de Kronecker”. Brouwer o intuicionista em particular se opôs ao uso da Lei do meio excluído sobre conjuntos infinitos (como Hilbert tinha usado). Hilbert respondeu:

tomando o princípio do meio Excluído do matemático … é a mesma coisa … proibindo o pugilista de usar os punhos. Axiomatização de geometryEdit

artigo principal: axiomas de Hilbert

o texto Grundlagen der Geometrie (tr.: Foundations of Geometry) published by Hilbert in 1899 proposes a formal set, called Hilbert’s axioms, substituting for the traditional axioms of Euclid. Eles evitam fraquezas identificadas nas de Euclid, cujas obras na época ainda eram usadas de forma didática. É difícil especificar os axiomas usados por Hilbert sem se referir à história da publicação do Grundlagen desde que Hilbert mudou e modificou-os várias vezes. A monografia original foi rapidamente seguida por uma tradução francesa, na qual Hilbert adicionou V. 2, o axioma da completude. Uma tradução em inglês, autorizada por Hilbert, foi feita por E. J. Townsend e com direitos autorais em 1902. Esta tradução incorporou as alterações feitas na tradução francesa e por isso é considerada uma tradução da 2ª edição. Hilbert continuou a fazer alterações no texto e várias edições apareceram em alemão. A 7ª edição foi a última a aparecer na vida de Hilbert. Novas edições seguiram-se ao 7º, mas o texto principal não foi essencialmente revisto.

a abordagem de Hilbert sinalizou a mudança para o método axiomático moderno. Neste, Hilbert foi antecipado pelo trabalho de Moritz Pasch a partir de 1882. Os axiomas não são considerados verdades óbvias. A geometria pode tratar as coisas, sobre as quais temos intuições poderosas, mas não é necessário atribuir qualquer significado explícito aos conceitos indefinidos. Os elementos, tais como ponto, linha, plano, e outros, podem ser substituídos, como Hilbert é relatado para ter dito para Schoenflies e Kötter, mesas, cadeiras, copos de cerveja e outros objetos. São as relações definidas deles que são discutidas.

Hilbert primeiro enumera o indefinido conceitos: ponto, linha, plano, deitado no (a relação entre pontos e linhas, pontos e planos, e linhas e planos), betweenness, congruência de pares de pontos (segmentos de linha), e a congruência de ângulos. Os axiomas unificam a geometria plana e a geometria sólida de Euclides em um único sistema.

the 23 problemsEdit

Main article: Hilbert’s problems

Hilbert put forth a most influential list of 23 unsolved problems at the International Congress of Mathematicians in Paris in 1900. Esta é geralmente considerada como a compilação mais bem sucedida e profundamente considerada dos problemas abertos jamais produzidos por um matemático individual.

depois de re-trabalhar os fundamentos da geometria clássica, Hilbert poderia ter extrapolado para o resto da matemática. Sua abordagem diferia, no entanto, do mais recente “fundacionalista” Russell–Whitehead ou “enciclopedista” Nicolas Bourbaki, e de seu contemporâneo Giuseppe Peano. A comunidade matemática como um todo poderia se alistar em problemas, que ele tinha identificado como aspectos cruciais das áreas da matemática que ele tomou como chave.

o conjunto de problemas foi lançado como uma palestra “Os problemas da Matemática” apresentada durante o Segundo Congresso Internacional de Matemáticos realizado em Paris. A introdução do discurso que Hilbert fez disse:Quem entre nós não teria o prazer de levantar o véu por trás do qual está escondido o futuro; de olhar para os próximos desenvolvimentos da nossa ciência e para os segredos do seu desenvolvimento nos séculos vindouros? Quais serão os fins para os quais o espírito das futuras gerações de matemáticos tenderá? Que métodos, que novos fatos O novo século revelará no vasto e rico campo do pensamento matemático? Ele apresentou menos da metade dos problemas no Congresso, que foram publicados nos atos do Congresso. Em uma publicação posterior, ele estendeu o panorama, e chegou à formulação dos 23 problemas canônicos de Hilbert. Veja Também o vigésimo quarto problema de Hilbert. O texto integral é importante, uma vez que a exegese das questões ainda pode ser uma questão de debate inevitável, sempre que se lhe pergunta quantos foram resolvidos.Alguns destes casos foram resolvidos num curto espaço de tempo. Outros têm sido discutidos ao longo do século XX, com alguns agora considerados inadequadamente abertos para chegar ao encerramento. Alguns continuam até hoje a ser um desafio para os matemáticos.

FormalismEdit

Em uma conta que havia se tornado padrão em meados do século, Hilbert conjunto de problemas foi também um tipo de manifesto, que abriu o caminho para o desenvolvimento da escola formalista, uma das três maiores escolas da matemática do século 20. De acordo com o formalista, a matemática é manipulação de símbolos de acordo com as regras formais acordadas. É, portanto, uma atividade autônoma do pensamento. Há, no entanto, espaço para duvidar se as próprias opiniões de Hilbert foram simplisticamente formalistas neste sentido.

Hilbert programEdit

ver artigo Principal: programa de Hilbert

Em 1920, ele propôs explicitamente um projeto de pesquisa (na metamatemática, como era então denominado), que se tornou conhecido como programa de Hilbert. Ele queria que a matemática fosse formulada sobre uma base lógica sólida e completa. Ele acreditava que, em princípio, isso poderia ser feito, mostrando que:

  1. todos matemática segue a partir de um correctamente escolhida sistema finito de axiomas; e
  2. que alguns desses axiomas do sistema for consistente através de alguns meios como a epsilon cálculo.

ele parece ter tido razões técnicas e filosóficas para formular esta proposta. Ele afirmou seu desagrado com o que se tornou conhecido como ignorabimus, ainda uma questão ativa em seu tempo no pensamento alemão, e traçou-se nessa formulação para Emil du Bois-Reymond.

este programa ainda é reconhecível na filosofia mais popular da matemática, onde é geralmente chamado formalismo. Por exemplo, o Grupo Bourbaki adotou uma versão diluída e seletiva do mesmo como adequada aos requisitos de seus projetos gêmeos de (a) escrever trabalhos de Fundação enciclopédica, e (B) apoiar o método axiomático como uma ferramenta de pesquisa. Esta abordagem tem sido bem sucedida e influente em relação com o trabalho de Hilbert em álgebra e análise funcional, mas não conseguiu se envolver da mesma forma com seus interesses em física e lógica.

Hilbert escreveu em 1919:

não Estamos falando aqui de arbitrariedade, em qualquer sentido. A matemática não é como um jogo cujas tarefas são determinadas por regras arbitrariamente estipuladas. Pelo contrário, é um sistema conceitual possuindo necessidade interna que só pode ser assim e de modo algum de outra forma.

Hilbert published his views on the foundations of mathematics in the 2-volume work Grundlagen der Mathematik.

Gödel’s workEdit

Hilbert and the mathematicians who worked with him in his enterprise were commited to the project. Sua tentativa de apoiar a matemática axiomatizada com princípios definitivos, que poderiam banir as incertezas teóricas, terminou em fracasso.Gödel demonstrou que qualquer sistema formal não contraditório, que fosse abrangente o suficiente para incluir pelo menos aritmética, não pode demonstrar sua completude por meio de seus próprios axiomas. Em 1931, seu teorema da incompletude mostrou que o grande plano de Hilbert era impossível, como afirmado. O segundo ponto não pode de forma razoável ser combinado com o primeiro ponto, desde que o sistema axioma seja genuinamente finitário.

no entanto, as realizações subseqüentes da teoria da prova no mínimo esclareceram a consistência, já que ela se relaciona com teorias de preocupação central para os matemáticos. Hilbert foi iniciado o trabalho de lógica no curso de esclarecimento; a necessidade de se entender o trabalho de Gödel, em seguida, levou ao desenvolvimento da teoria da recursão e, em seguida, a lógica matemática como uma disciplina autónoma, na década de 1930. A base para a posterior teoria da ciência da computação, na obra de Alonzo Church e Alan Turing, também cresceu diretamente de ‘debate’.

Functional analysisEdit

por volta de 1909, Hilbert dedicou-se ao estudo das equações diferenciais e integrais; seu trabalho teve consequências diretas para partes importantes da análise funcional moderna. Para realizar esses estudos, Hilbert introduziu o conceito de um espaço euclidiano dimensional infinito, mais tarde chamado de espaço Hilbert. His work in this part of analysis provided the basis for important contributions to the mathematics of physics in the next two decades, though from an unanticipated direction.Mais tarde, Stefan Banach ampliou o conceito, definindo espaços Banach. Os espaços de Hilbert são uma importante classe de objetos na área de Análise Funcional, particularmente da teoria espectral de Operadores Lineares auto-adjuntos, que cresceu em torno dela durante o século XX.Até 1912, Hilbert era quase exclusivamente um matemático “puro”. Ao planejar uma visita de Bonn, onde ele estava imerso em estudar física, seu colega matemático e amigo Hermann Minkowski brincou ele teve que passar 10 dias em quarentena antes de ser capaz de visitar Hilbert. Na verdade, Minkowski parece responsável pela maioria das investigações de Física de Hilbert antes de 1912, incluindo seu seminário conjunto sobre o assunto em 1905.

em 1912, três anos após a morte de seu amigo, Hilbert virou seu foco para o assunto quase exclusivamente. Arranjou um “professor de física” para ele. Ele começou a estudar a teoria cinética dos gases e passou para a teoria elementar da radiação e a teoria molecular da matéria. Mesmo depois que a guerra começou em 1914, ele continuou seminários e aulas onde as obras de Albert Einstein e outros foram seguidas de perto.Por volta de 1907, Einstein havia enquadrado os fundamentos da teoria da gravidade, mas então lutou por quase 8 anos com um problema confuso de colocar a teoria em forma final. No início do verão de 1915, o interesse de Hilbert em física tinha-se concentrado na relatividade geral, e convidou Einstein a ir a Göttingen para dar uma semana de palestras sobre o assunto. Einstein recebeu uma recepção entusiástica em Göttingen. Durante o verão, Einstein aprendeu que Hilbert também estava trabalhando nas equações de campo e redobrou seus próprios esforços. In November 1915, Einstein published several papers culminating in the Field Equations of Gravitation (see Einstein field equations). Quase simultaneamente, David Hilbert publicou “The Foundations of Physics”, uma derivação axiomática das equações de campo (Ver ação Einstein–Hilbert). Hilbert creditou totalmente Einstein como o originador da teoria, e nenhuma disputa de prioridade pública sobre as equações de campo jamais surgiu entre os dois homens durante suas vidas. Veja mais em prioridade.

adicionalmente, o trabalho de Hilbert antecipou e ajudou vários avanços na formulação matemática da mecânica quântica. His work was a key aspect of Hermann Weyl and John von Neumann’s work on the mathematical equivalence of Werner Heisenberg’s matrix mechanics and Erwin Schrödinger’s wave equation, and his namesake Hilbert space plays an important part in quantum theory. Em 1926, von Neumann mostrou que, se os estados quânticos foram entendidos como vetores no espaço de Hilbert, que corresponderia tanto a função de onda de Schrödinger e a teoria de Heisenberg da matrizes.

ao longo desta imersão em física, Hilbert trabalhou em colocar rigor na matemática da física. Enquanto altamente dependentes de matemática superior, os físicos tendem a ser “desleixados” com ela. Para um matemático” puro ” como Hilbert, isso era feio, e difícil de entender. Como ele começou a entender física e como os físicos estavam usando matemática, ele desenvolveu uma teoria matemática coerente para o que ele encontrou – mais importante na área de equações integrais. Quando seu colega Richard Courant escreveu o agora clássico Methoden der mathematischen Physik, incluindo algumas das ideias de Hilbert, ele adicionou o nome de Hilbert como autor, apesar de Hilbert não ter contribuído diretamente para a escrita. Hilbert disse que “a física é muito difícil para os físicos”, implicando que a matemática necessária estava geralmente além deles; o livro Courant-Hilbert tornou mais fácil para eles.

Number theoryEdit

Hilbert unified the field of algebraic number theory with his 1897 treatise Zahlbericht (literal “report on numbers”). Ele também resolveu um problema significativo de teoria dos números formulado por Waring em 1770. Como no teorema da finitude, ele usou uma prova de existência que mostra que deve haver soluções para o problema ao invés de fornecer um mecanismo para produzir as respostas. Ele então tinha pouco mais a publicar sobre o assunto; mas o surgimento de formas modulares de Hilbert na dissertação de um estudante significa que seu nome está ainda mais ligado a uma área maior.

He made a series of conjectures on class field theory. Os conceitos foram altamente influentes, e sua própria contribuição vive nos nomes do campo da classe Hilbert e do símbolo de Hilbert da teoria local do campo da classe. Os resultados foram provados principalmente em 1930, após o trabalho de Teiji Takagi.Hilbert não trabalhou nas áreas centrais da teoria analítica dos números, mas seu nome tornou–se conhecido pela conjectura de Hilbert-Pólya, por razões que são anedóticas.

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