Carl Gustav Jacob Jacobi

uma das maiores realizações de Jacobi foi sua teoria das funções elípticas e sua relação com a função teta elíptica. Isto foi desenvolvido em seu grande tratado Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829), e em artigos posteriores no Jornal de Crelle. As funções Theta são de grande importância na física matemática por causa de seu papel no problema inverso para fluxos periódicos e quasi-periódicos. As equações de movimento são integráveis em termos das funções elípticas de Jacobi nos casos bem conhecidos do pêndulo, o topo de Euler, o topo de Lagrange simétrico em um campo gravitacional e o problema de Kepler (movimento planetário em um campo gravitacional central).

he also made fundamental contributions in the study of differential equations and to classical mechanics, notably the Hamilton–Jacobi theory.

foi no desenvolvimento algébrico que o poder particular de Jacobi estava principalmente, e ele fez importantes contribuições deste tipo em muitas áreas da matemática, como mostrado por sua longa lista de artigos no Jornal de Crelle e em outros lugares a partir de 1826. Ele disse aos seus alunos que, quando procurando por um tema de pesquisa, deve-se “Inverter, sempre inverter’ (‘man muss imer umkehren’), refletindo sua crença de que a inversão de resultados conhecidos pode abrir novos campos de investigação, por exemplo, a inversão de integrais elípticas e concentrando-se na natureza da elíptica e theta funções.

Em seu 1835 papel, Jacobi provou o seguinte resultado básico a classificação de periódicos (incluindo elíptica) funções:Se um univariada de valor único função é multiplicar periódica, em seguida, uma função pode ter mais do que dois períodos, e a proporção dos períodos não pode ser um número real. He discovered many of the fundamental properties of theta functions, including the functional equation and the Jacobi triple product formula, as well as many other results on q-series and hypergeometric series.

The solution of the Jacobi inversion problem for the hyperelliptic Abel map by Weierstrass in 1854 required the introduction of the hyperelliptic theta function and later the general Riemann theta function for algebraic curves of arbitrary genus. O complexo toro associado a um gênero g {\displaystyle g}

g

curva algébrica, obtido por quotienting C g {\displaystyle {\mathbf {C} }^{g}}

{\mathbf {C} }^{g}

por treliças de períodos é referido como a variedade de Pessoas. This method of inversion, and its subsequent extension by Weierstrass and Riemann to arbitrary algebraic curves, may be seen as a higher genus generalization of the relation between elliptic integrals and the Jacobi or Weierstrass elliptic functions.

Carl Gustav Jacob Jacobi

Jacobi foi o primeiro a aplicar elī ipticas a teoria dos números, por exemplo provando de Fermat dois-praça teorema e equação de Lagrange quatro-praça teorema, e resultados semelhantes para 6 e 8 quadrados.Seu outro trabalho na teoria dos números continuou o trabalho de C. F. Gauss.: novas provas de reciprocidade quadrática e introdução do símbolo Jacobi; contribuições para leis de reciprocidade mais elevadas, investigações de frações contínuas, e a invenção de somas Jacobi.

He was also one of the early founders of the theory of determinants. In particular, he invented the Jacobian determinant formed from the n2 partial derivatives of N given functions of n independent variables, which plays an important part in changes of variables in multiple integrals, and in many analytical investigations. Em 1841, ele reintroduziu a notação parcial derivada de Legendre, que se tornaria padrão.

Ele foi um dos primeiros a introduzir e estudar o simétrico de polinˆ omios que são agora conhecidos como Schur polinômios, dando o chamado bialternant fórmula para estes, o que é um caso especial de Weyl personagem fórmula e obter a Jacobi–Trudi identidades. Ele também descobriu a fórmula Desnanot-Jacobi para determinantes, que está na base das relações Plucker para os Grassmannianos.

Students of vector fields, Lie theory, Hamiltonian mechanics and operator algebras often encounter the Jacobi identity, the analog of associativity for the Lie bracket operation.A teoria planetária e outros problemas dinâmicos particulares também ocuparam sua atenção de tempos em tempos. Enquanto contribuía para a mecânica celeste, introduziu a integral Jacobi (1836) para um sistema de coordenadas siderais. Sua teoria do último multiplicador é tratada em Vorlesungen über Dynamik, editado por Alfred Clebsch (1866).

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