Carl Gustav Jacob Jacobi

jednym z największych osiągnięć Jacobiego była jego teoria funkcji eliptycznych i ich związek z eliptyczną funkcją Teta. Zostało to rozwinięte w jego wielkim traktacie Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829), a później w czasopiśmie Crelle ’ a. Funkcje Theta mają duże znaczenie w fizyce matematycznej ze względu na ich rolę w problemie odwrotności dla przepływów okresowych i quasi-okresowych. Równania ruchu są całkowalne pod względem funkcji eliptycznych Jacobiego w znanych przypadkach wahadła, wierzchołka Eulera, symetrycznego wierzchołka Lagrange ’ a w polu grawitacyjnym i problemu Keplera (ruch planetarny w centralnym polu grawitacyjnym).

wniósł również fundamentalny wkład w badania równań różniczkowych i mechaniki klasycznej, w szczególności teorii Hamiltona-Jacobiego.

To właśnie w rozwoju algebraicznym leżała szczególna władza Jacobiego, a on wniósł ważny wkład tego rodzaju w wielu dziedzinach matematyki, o czym świadczy jego długa lista artykułów w czasopiśmie Crelle ’ a i gdzie indziej od 1826 roku. Mówi się, że powiedział swoim studentom, że szukając tematu badawczego, należy „odwrócić, zawsze odwrócić” („man muss immer umkehren”), odzwierciedlając jego przekonanie, że odwrócenie znanych wyników może otworzyć nowe pola do badań, na przykład odwracając całki eliptyczne i koncentrując się na naturze funkcji eliptycznych i theta.

w swojej pracy z 1835 roku Jacobi udowodnił następujące podstawowe wyniki klasyfikujące funkcje okresowe (w tym eliptyczne): jeśli funkcja jednowartościowa jest mnożona okresowo, to taka funkcja nie może mieć więcej niż dwóch okresów, a stosunek okresów nie może być liczbą rzeczywistą. Odkrył wiele podstawowych właściwości funkcji theta, w tym równanie funkcyjne i wzór potrójnego produktu Jacobiego, a także wiele innych wyników serii q i serii hipergeometrycznych.

rozwiązanie problemu inwersji Jacobiego dla hiperelliptycznej mapy Abla przez Weierstrassa w 1854 wymagało wprowadzenia hiperelliptycznej funkcji theta, a później ogólnej funkcji Riemanna theta dla algebraicznych krzywych dowolnego rodzaju. Kompleks torus związany z rodzajem g {\displaystyle g}

g

krzywa algebraiczna, otrzymana przez iloraz C G {\displaystyle {\mathbf {C}} ^{g}}

{\mathbf{C}} ^{g}

przez kratę okresów jest określana jako odmiana Jakobiańska. Ta metoda inwersji, a następnie jej rozszerzenie przez Weierstrassa i Riemanna do dowolnych krzywych algebraicznych, może być postrzegana jako wyższe uogólnienie zależności między całkami eliptycznymi a funkcjami eliptycznymi Jacobiego lub Weierstrassa.

Carl Gustav Jacob Jacobi

Jacobi był pierwszym, który zastosował funkcje eliptyczne do teorii liczb, na przykład dowodząc twierdzeniem fermata o dwóch kwadratach i twierdzeniem Lagrange ’ a o czterech kwadratach, i podobnymi wynikami dla 6 i 8 kwadratów.Jego inne prace w teorii liczb kontynuował prace C. F. Gaussa: nowe dowody wzajemności kwadratowej i wprowadzenie symbolu Jacobiego; wkład w wyższe prawa wzajemności, badania ułamków ciągłych i wynalezienie Sum Jacobiego.

był również jednym z wczesnych założycieli teorii wyznaczników. W szczególności wynalazł wyznacznik Jakobiański utworzony z N2 pochodnych cząstkowych N danych funkcji n zmiennych niezależnych, który odgrywa ważną rolę w zmianach zmiennych w całkach wielokrotnych i w wielu badaniach analitycznych. W 1841 roku ponownie wprowadził notację pochodną cząstkową Legendre , która miała stać się standardem.

był jednym z pierwszych, którzy wprowadzili i zbadali wielomiany symetryczne, które są obecnie znane jako wielomiany Schura, dając dla nich tak zwaną formułę bialternanta, która jest szczególnym przypadkiem formuły postaci Weyla i wyprowadzając tożsamości Jacobiego-Trudiego. Odkrył również wzór Desnanota-Jacobiego na wyznaczniki, które leżą u podstaw relacji Pluckera dla Grassmannów.

studenci pól wektorowych, teorii kłamstwa, mechaniki Hamiltońskiej i algebr operatorów często spotykają się z tożsamością Jacobiego, analogią asocjacji dla operacji nawiasu Lie.

teoria planetarna i inne szczególne problemy dynamiczne również zajmowały jego uwagę od czasu do czasu. Przyczyniając się do mechaniki nieba, wprowadził całkę Jacobiego (1836) dla bocznego układu współrzędnych. Jego teoria ostatniego mnożnika jest traktowana w Vorlesungen über Dynamik, pod redakcją Alfreda Clebscha (1866).

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.