Julia Sett

Anvendt Matematikk > Komplekse Systemer > Fraktaler >

Last Ned Mathematica Notebook  Bidra til denne oppføringen

La r (z) være en rasjonell funksjon

 R (z)=(P (z))/(Q (z)),
(1)

hvor z I C^*, C^*Er Riemann-sfæren c union {infty} , Og POg  Q er polynomer uten felles divisorer. «Utfylt» Julia set  J_R er settet med poeng z som ikke nærmer seg uendelig etter R(z) brukes gjentatte ganger (tilsvarende en merkelig tiltrekker). Det sanne Julia-settet J er grensen til det utfylte settet(settet med «eksepsjonelle poeng»). Det finnes to Typer Julia-sett: tilkoblede sett (Fatou-sett) og Cantor-sett (Fatou-støv).

JuliaSets

Kvadratiske Julia-sett genereres av den kvadratiske tilordningen

 z_ (n + 1) = z_n^2 + c
(2)

for fast c. For nesten hver c genererer denne transformasjonen en fraktal. Eksempler er vist ovenfor for ulike verdier av c. Det resulterende objektet er ikke en fraktal for  c=-2 (Dufner et al. 1998, s. 224-226) og  c=0 (Dufner et al. 1998, s. 125-126), selv om det ikke synes å være kjent om disse to er de eneste slike eksepsjonelle verdiene.

DendriteFractal DouadysRabbitFractal
SanMarcoFractal SiegelDisk

det spesielle tilfellet av c=i på grensen Til Mandelbrot-settet kalles En dendritfraktal (øverst til venstre figur), c=-0.123+0.745 i kalles Douady ‘ s rabbit fractal (øverst til høyre figur), c=-0.75 kalles San Marco fractal (nederst til venstre figur), og c=-0.391-0.587 i er siegel disk fraktal (Nederst til høyre figur).

ligningen for det kvadratiske Julia-settet er en konform kartlegging, så vinkler blir bevart. La J Være Julia-settet, deretter x^'|-x forlater J invariant. Hvis et punkt  P er på J, så er alle iterasjonene på J. Transformasjonen har en toverdig invers. Hvis  b=0 ogy startes ved 0, tilsvarer kartet det logistiske kartet. Settet av alle punkter som J er koblet til, kalles Mandelbrot-settet.

for Et Julia-sett  J_cmed  c1 er kapasitetsdimensjonen

 d_ (kapasitet)=1+(/c / ^2)/(4ln2) + O (|c / ^3).
(3)

for små c er J_c også En Jordan-kurve, selv om punktene ikke kan beregnes.

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert.