연결성

수학 분야는 일반적으로 특수한 종류의 객체와 관련이 있습니다. 종종 그러한 물체는 토폴로지 공간으로 간주 될 때 연결된 공간 인 경우 연결되어 있다고합니다. 따라서 매니 폴드,거짓말 그룹 및 그래프는 토폴로지 공간으로 연결되어 있고 해당 구성 요소가 토폴로지 구성 요소 인 경우 모두 연결이라고합니다. 때로는 그러한 분야에서 연결성의 정의를 다시 말하는 것이 편리합니다. 예를 들어 그래프의 각 꼭지점 쌍이 경로에 의해 결합되면 그래프가 연결된다고 합니다. 이 정의는 그래프에 적용되는 토폴로지와 동일하지만 그래프 이론의 맥락에서 다루기가 더 쉽습니다. 그래프 이론은 또한 클러스터링 계수라고하는 연결성에 대한 문맥없는 측정을 제공합니다.

다른 수학 분야는 토폴로지 공간으로 거의 간주되지 않는 객체에 관심이 있습니다. 그럼에도 불구하고 연결성의 정의는 종종 어떤 식 으로든 토폴로지 의미를 반영합니다. 예를 들어,범주 이론에서 범주는 그 안에있는 각 객체 쌍이 일련의 형태로 결합되면 연결된다고합니다. 따라서 카테고리는 직관적으로 모두 하나의 조각 인 경우 연결됩니다.

직관적으로 비슷하지만 공식적으로 정의 된 개념과는 다른 연결성에 대한 다른 개념이있을 수 있습니다. 그 안에있는 각 포인트 쌍이 경로로 결합되면 연결된 토폴로지 공간을 호출 할 수 있습니다. 그러나이 조건은 표준 토폴로지 연결성보다 강한 것으로 판명;특히,이 속성이 보유하지 않는 연결된 토폴로지 공간이 있습니다. 이 때문에 다른 용어가 사용되며 이 속성이 있는 공백은 경로가 연결되어 있다고 합니다. 연결된 모든 공간이 경로에 연결된 것은 아니지만 모든 경로에 연결된 공간이 연결됩니다.

연결과 관련된 용어는 연결성과 관련이 있지만 분명히 다른 속성에도 사용됩니다. 예를 들어,경로에 연결된 토폴로지 공간은 각 루프(한 지점에서 그 자체로의 경로)가 수축 가능한 경우 간단히 연결됩니다. 따라서 구체와 디스크는 각각 단순히 연결되어 있지만 토러스는 연결되어 있지 않습니다. 또 다른 예로서,각 정렬 된 정점 쌍이 방향 경로(즉,”화살표 다음”)에 의해 결합되면 방향 그래프가 강하게 연결됩니다.

다른 개념들은 객체가 연결되지 않는 방식을 표현한다. 예를 들어,토폴로지 공간은 각 구성 요소가 단일 점인 경우 완전히 분리됩니다.

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