대학원생은 수십 년 된 콘웨이 매듭 문제를 해결

그러나 우리가 시간을 차원으로 포함한다면 우리의 세계는 4 차원이기 때문에 4 차원 공간에서 매듭에 대한 상응하는 이론이 있는지 묻는 것은 자연스러운 일이다. 이것은 우리가 3 차원 공간에있는 모든 매듭을 복용하고 4 차원 공간에서 그들을 아래로 플런저의 문제가 아니다:가닥이 네 번째 차원에서 서로를 통해 이동하는 경우 주위에 이동하는 네 가지 차원으로,어떤 매듭 루프가 풀릴 수 있습니다.

4 차원 공간에서 매듭이 있는 개체를 만들려면 1 차원 루프가 아닌 2 차원 구가 필요합니다. 3 차원이 매듭된 고리를 만들 수 있는 충분한 공간을 제공하지만 풀 수 있는 충분한 공간을 제공하듯이,4 차원은 1920 년대에 수학자들이 처음 건설한 매듭된 구체를 위한 환경을 제공한다.

4 차원 공간에서 매듭된 구체를 시각화하기는 어렵지만,3 차원 공간에서 보통 구체를 먼저 생각하는 데 도움이 된다. 당신이 그것을 통해 슬라이스 경우,당신은 알 수없는 루프를 볼 수 있습니다. 그러나 4 차원 공간에서 매듭이있는 구를 슬라이스 할 때 매듭 루프 대신(또는 슬라이스 위치에 따라 알려지지 않은 루프 또는 여러 루프의 링크)를 볼 수 있습니다. 당신이 매듭 구를 슬라이스하여 만들 수있는 매듭은”슬라이스”라고한다.”일부 매듭은 조각되지 않습니다-예를 들어,세 교차 매듭은 트레 포일로 알려져 있습니다.

슬라이스 매듭은”매듭 이론의 3 차원 및 4 차원 이야기 사이에 다리를 제공합니다.”그린이 말했다.

하지만 4 차원적 이야기에 풍성함과 특이성을 부여하는 주름이 있다: 4 차원 토폴로지에서는 슬라이스가 의미하는 두 가지 버전이 있습니다. 1980 년대 초반(마이클 프리드먼과 사이먼 도날드슨 필즈 메달을 모두 획득 한)의 일련의 혁명적 인 발전에서 수학자들은 4 차원 공간이 우리가 직관적으로 시각화 한 부드러운 구체를 포함하지 않는다는 것을 발견했습니다. 어떤 매듭이 조각인지에 대한 질문은 이러한 구겨진 구를 포함할지 여부에 달려 있습니다.

라이스 대학의 셸리 하비는”이것들은 마술에 의해 존재하는 매우 이상한 물체이다. (2018 년 하비의 강연에서 피치릴로는 콘웨이 매듭 문제에 대해 처음 알게 되었다.)

이 이상한 구체는 4 차원 토폴로지의 버그가 아니라 기능입니다. “위상 적으로 슬라이스”하지만”부드럽게 슬라이스”가 아닌 매듭은—구겨진 구의 조각이지만 부드러운 것은 없음을 의미하므로 수학자는 소위”이국적인”버전의 일반 4 차원 공간을 만들 수 있습니다. 이러한 4 차원 공간의 복사본들은 위상 관점에서 볼 때 정상적인 공간과 동일하게 보이지만 회복 할 수 없을 정도로 구겨져 있습니다. 이 이국적인 공간의 존재는 다른 모든 차원과 별개로 차원 4 를 설정합니다.

슬라이스의 문제는 이러한 이국적인 4 차원 공간의”가장 낮은 차원 탐침”이라고 그린은 말했다.

수년에 걸쳐,수학자는 위상 적으로하지만 부드럽게 조각되지 않은 매듭의 구색을 발견했다. 와 매듭 중 12 이하 횡단,하나,어떤 것 같지 않았다—아마도 콘웨이 매듭을 제외하고. 수학자는 12 개 이하의 횡단을 가진 다른 모든 매듭의 슬라이스 상태를 알아낼 수 있지만 콘웨이 매듭은 그들을 피했습니다.

지난 달 코로나 19 로 사망 한 콘웨이는 수학의 한 영역에 영향력있는 기여를 한 것으로 유명했습니다. 그는 1950 년대에 10 대 때 처음으로 매듭에 관심을 갖게되었고 본질적으로 11 개의 횡단까지 모든 매듭을 나열하는 간단한 방법을 생각해 냈습니다(이전의 전체 목록은 10 개의 횡단까지 갔다).

목록에 눈에 띄는 하나의 매듭이었다. “콘웨이,내 생각,그것에 대해 아주 특별한 무언가가 있다는 것을 깨달았다,”그린은 말했다.

콘웨이 매듭은 알려진 바와 같이 위상 적으로 조각이다—수학자들은 1980 년대의 혁명적 발견 속에서 이것을 깨달았다.그러나 그들은 그것이 부드럽게 조각되었는지 여부를 알아낼 수 없었다. 그들은 그것이 아니라고 의심,이 원활 매듭이 일반적으로 가지고있는 슬라이스”리본”이라는 기능이 부족한 것 같았다 때문에. 그러나 그것은 또한 부드럽게 슬라이스 아니었다 보여 모든 시도에 면역 만든 기능을 가지고 있었다.

즉,콘웨이 매듭에는 일종의 형제가 있습니다. 콘웨이 매듭을 종이에 그려서 종이의 일정 부분을 잘라낸 다음 조각을 뒤집은 다음 느슨한 끝을 다시 연결하면 키노시타-테라 사카 매듭으로 알려진 또 다른 매듭이 생깁니다.

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