連結性

数学の分野は、通常、特別な種類のオブジェクトに関係しています。 しばしば、そのような対象が連結であるとは、位相空間と見なされるとき、それが連結空間であることをいう。 したがって、多様体、リー群、グラフはすべて、それらが位相空間として接続されており、それらの成分が位相成分である場合、接続と呼ばれます。 時には、そのような分野における連結性の定義を再記述することが便利である。 たとえば、グラフ内の頂点の各ペアがパスで結合されている場合、グラフは接続されていると言われます。 この定義は、グラフに適用されるように位相的なものと同等であるが、グラフ理論の文脈で扱う方が簡単である。 グラフ理論はまた、クラスタリング係数と呼ばれる連結性の文脈自由尺度を提供する。

数学の他の分野は、位相空間とはほとんど考えられない対象に関係しています。 それにもかかわらず、接続性の定義は、しばしば何らかの形で位相的意味を反映しています。 例えば、圏論において、圏が連結であるとは、その中の対象の各対が射の列によって連結されていることをいう。 したがって、カテゴリが接続されている場合、それは、直感的に、すべての一つです。

直感的には似ているが、形式的に定義された概念とは異なる、連結性の異なる概念があるかもしれない。 その中の点の各ペアがパスによって結合されている場合、接続された位相空間を呼び出すことができます。 しかし、この条件は標準的な位相的連結性よりも強いことが判明し、特にこの性質が成り立たない連結位相空間が存在する。 このため、異なる用語が使用されています;このプロパティを持つスペースは、パス接続されていると言われています。 すべての接続スペースがパス接続されているわけではありませんが、すべてのパス接続スペースが接続されています。

連結を含む用語は、連結性に関連しているが明らかに異なるプロパティにも使用されます。 例えば、経路連結位相空間が単連結であるとは、その中の各ループ(ある点からそれ自身への経路)が可縮であること、すなわち、直感的には、任意の点から他の点へ到達する方法が本質的に一つしかないことである。 したがって、球と円盤はそれぞれ単純に接続されていますが、トーラスは接続されていません。 別の例として、有向グラフは、頂点の順序付けられた各ペアが有向パス(すなわち、「矢印に従う」)によって結合されている場合、強く接続されます。

他の概念は、オブジェクトが接続されていない方法を表現します。 例えば、位相空間が完全に切断されるとは、その各成分が単一点であることをいう。

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