大学院生は数十年前のConway Knot Problem

を解決しますが、時間を次元として含めると、私たちの世界は四次元ですので、4D空間に対応する結び目の理論があるかどうかを尋ねるのは自然です。 これは、私たちが3D空間に持っているすべての結び目を取り、4D空間にそれらを急落するだけの問題ではありません:で周りに移動するために四

結び目のあるオブジェクトを4次元空間に作るには、1次元のループではなく、2次元の球が必要です。 三次元は結び目のループを構築するのに十分なスペースを提供しますが、それらを解くのに十分なスペースを提供しないのと同じように、四次元は、数学者が1920年代に最初に構築した結び目のある球のためのそのような環境を提供します。

4D空間で結び目のある球を視覚化するのは難しいですが、最初に3D空間で普通の球について考えるのに役立ちます。 あなたがそれをスライスした場合、あなたは未知数のループが表示されます。 しかし、4D空間で結び目のある球をスライスすると、代わりに結び目のあるループが表示されることがあります(または、スライスする場所に応じて、未知数のループまたは複数のループのリンクが表示される可能性があります)。 結び目のある球をスライスして作ることができる結び目は、”スライス”と言われています。”いくつかの結び目はスライスではありません—例えば、三つ葉として知られている三つの交差結び目。

スライスノット”結び目理論の三次元と四次元の物語の間の橋渡しを提供する”とGreene氏は述べている。

しかし、四次元の物語に豊かさと特異性を貸すしわがあります: 4Dトポロジでは、スライスであることを意味する2つの異なるバージョンがあります。 1980年代初頭の一連の革新的な開発(Michael FreedmanとSimon Donaldson Fieldsの両方のメダルを獲得した)で、数学者は、4D空間には直感的に視覚化する滑らかな球が含まれているだけではなく、滑らかにアイロンをかけることができないほど広範囲にしわくちゃにされた球も含まれていることを発見しました。 どの結び目がスライスであるかの問題は、これらのしわくちゃの球を含めるかどうかによって異なります。

「これらは非常に、非常に奇妙な物体であり、魔法によって存在するようなものです」とライス大学のShelly Harvey氏は述べています。 (PiccirilloがConway knot問題について最初に学んだのは、2018年のHarveyの講演ででした。)

これらの奇妙な球は、四次元トポロジーのバグではなく、特徴です。 「位相的にスライス」されているが「滑らかにスライス」されていない結び目(つまり、それらはいくつかのしわくちゃの球のスライスであるが、滑らかなものはないことを意味する)は、数学者が通常の4次元空間のいわゆる「エキゾチックな」バージョンを構築することを可能にする。 これらの四次元空間のコピーは、位相的な観点からは通常の空間と同じように見えるが、取り返しのつかないほどしわくちゃにされている。 これらのエキゾチックな空間の存在は、他のすべての次元から離れて次元fourを設定します。

滑らかさの問題は、これらのエキゾチックな四次元空間の”最低次元プローブ”である、とGreeneは述べている。

長年にわたり、数学者はトポロジー的には滑らかにスライスされていない結び目の品揃えを発見しました。 しかし、12以下の交差を持つ結び目の中には、おそらくコンウェイ結び目を除いて、何もないように見えました。 数学者は12以下の交差を持つ他のすべての結び目のスライス状態を把握することができましたが、コンウェイ結び目はそれらを逃れました。

先月COVID-19で死亡したコンウェイは、数学のある分野に次々と影響力のある貢献をしたことで有名でした。 彼は1950年代にティーンエイジャーとして結び目に興味を持ち、本質的にすべての結び目を11の交差までリストする簡単な方法を思いついた(以前の完全なリストは10の交差だけになっていた)。リスト上の

は、際立っていた一つの結び目でした。 “コンウェイは、私が思うに、それについて非常に特別な何かがあったことに気づいた、”グリーンは言った。

コンウェイノットは、それが知られるようになったように、トポロジー的にスライスされています—数学者は1980年代の革命的な発見の中でこれを実現しましたが、彼らはそれがスムーズにスライスされたかどうかを把握することができませんでした。 彼らは、滑らかにスライスした結び目が一般的に持っている”ribbonness”と呼ばれる機能が欠けているように見えたので、そうではないと疑った。 しかし、それはまた、それがスムーズにスライスされていなかったことを示すために、すべての試みに免疫した機能を持っていました。

つまり、コンウェイノットには一種の兄弟があります。 紙の上にコンウェイの結び目を描き、紙の特定の部分を切り取って、その断片を裏返して、その緩い端を再び結合すると、木下寺坂の結び目と呼ばれる別の結び目が得られます。

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