Graduate Student Lost decennia-oude Conway knoop probleem

maar onze wereld is vierdimensionaal als we tijd als een dimensie, dus het is natuurlijk om te vragen of er een overeenkomstige theorie van knopen in 4D ruimte. Dit is niet alleen een kwestie van het nemen van alle knopen die we hebben in 3D-ruimte en dompelen ze in 4D-ruimte: met vier dimensies om in te bewegen, kan elke Geknoopte lus worden ontrafeld als strengen over elkaar worden bewogen in de vierde dimensie.

om een geknoopt object in de vierdimensionale ruimte te maken, hebt u een tweedimensionale bol nodig, geen eendimensionale lus. Net zoals drie dimensies voldoende ruimte bieden om Geknoopte lussen te bouwen, maar niet genoeg ruimte om ze te ontrafelen, bieden vier dimensies zo ‘ n omgeving voor Geknoopte bollen, die wiskundigen voor het eerst bouwden in de jaren 1920.

het is moeilijk om een geknoopte bol in de 4D-ruimte te visualiseren, maar het helpt om eerst na te denken over een gewone bol in de 3D-ruimte. Als je er doorheen snijdt, zie je een niet-Geknoopte lus. Maar als je door een geknoopte bol in 4D-ruimte snijdt, zie je in plaats daarvan een geknoopte lus (of mogelijk een niet-Geknoopte lus of een koppeling van meerdere lussen, afhankelijk van waar je snijdt). Elke knoop die je kunt maken door het snijden van een geknoopte bol wordt gezegd te zijn “slice.”Sommige knopen zijn niet slice-bijvoorbeeld, de drie-kruising knoop bekend als de trefoil.Slice knopen “bieden een brug tussen de driedimensionale en vierdimensionale verhalen van de knopentheorie,” zei Greene.

maar er is een rimpel die rijkdom en eigenaardigheid geeft aan het vierdimensionale verhaal: In 4D topologie zijn er twee verschillende versies van wat het betekent om slice te zijn. In een reeks revolutionaire ontwikkelingen in de vroege jaren 1980 (die zowel Michael Freedman als Simon Donaldson Fields — medailles opleverden) ontdekten wiskundigen dat de 4D-ruimte niet alleen de gladde bollen bevat die we intuïtief visualiseren-het bevat ook bollen die zo doordringend verfrommeld zijn dat ze nooit glad gestreken konden worden. De vraag welke knopen zijn slice hangt af van of u ervoor kiest om deze verfrommelde bollen op te nemen.

“dit zijn zeer, zeer vreemde objecten, die soort van bestaan door magie,” zei Shelly Harvey van Rice University. (Het was op Harvey ‘ s talk in 2018 dat Piccirillo voor het eerst leerde over het Conway knot probleem.)

deze vreemde bollen zijn geen bug van de vierdimensionale topologie, maar een kenmerk. Knopen die ” topologisch slice “zijn, maar niet” gladde slice “— wat betekent dat ze een slice zijn van een verkreukelde bol, maar geen gladde — staan wiskundigen toe om zogenaamde” exotische ” versies van gewone vierdimensionale ruimte te bouwen. Deze kopieën van de vierdimensionale ruimte zien er uit topologisch oogpunt hetzelfde uit als de normale ruimte, maar zijn onherroepelijk verkreukeld. Het bestaan van deze exotische ruimtes onderscheidt dimensie vier van alle andere dimensies.De kwestie van sliceness is “de laagste-dimensionale sonde” van deze exotische vierdimensionale ruimten, zei Greene.In de loop der jaren ontdekten wiskundigen een assortiment van knopen die topologisch maar niet glad waren. Onder de knopen met 12 of minder kruisingen, echter, er leek niet te zijn-behalve mogelijk de Conway knoop. Wiskundigen konden de slice status van alle andere knopen met 12 of minder kruisingen achterhalen, maar de Conway knoop ontging hen.Conway, die vorige maand overleed aan COVID-19, was beroemd om zijn invloedrijke bijdragen aan het ene deelgebied van de wiskunde na het andere. Hij raakte voor het eerst geïnteresseerd in knopen als tiener in de jaren 1950 en kwam met een eenvoudige manier om in wezen alle knopen tot 11 kruisingen op te sommen (eerdere volledige lijsten waren tot slechts 10 kruisingen gegaan).

op de lijst stond een knoop die opviel. “Conway, denk ik, realiseerde zich dat er iets heel bijzonders aan was,” Greene zei.

de Conway-knoop, zoals die bekend werd, is topologisch slice — wiskundigen realiseerden dit te midden van de revolutionaire ontdekkingen van de jaren 1980. Ze vermoedden dat het niet, omdat het leek te missen een functie genaamd “ribbonness” die soepel snijd knopen meestal hebben. Maar het had ook een functie die het immuun maakte voor elke poging om te laten zien dat het niet soepel was gesneden.

namelijk, de Conway knoop heeft een soort broer of zus — wat bekend staat als een mutant. Als je de Conway knoop op papier tekent, een bepaald deel van het papier uitsnijdt, het fragment omdraait en dan weer bij de losse eindjes aansluit, krijg je een andere knoop die bekend staat als de Kinoshita-Terasaka knoop.

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.