Carl Gustav Jacob Jacobi

L’une des plus grandes réalisations de Jacobi a été sa théorie des fonctions elliptiques et de leur relation avec la fonction thêta elliptique. Cela a été développé dans son grand traité Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829), et dans des articles ultérieurs dans le journal de Crelle. Les fonctions thêta sont d’une grande importance en physique mathématique en raison de leur rôle dans le problème inverse des flux périodiques et quasi périodiques. Les équations du mouvement sont intégrables en termes de fonctions elliptiques de Jacobi dans les cas bien connus du pendule, du sommet d’Euler, du sommet de Lagrange symétrique dans un champ gravitationnel et du problème de Kepler (mouvement planétaire dans un champ gravitationnel central).

Il a également apporté des contributions fondamentales à l’étude des équations différentielles et à la mécanique classique, notamment la théorie de Hamilton–Jacobi.

C’est dans le développement algébrique que le pouvoir particulier de Jacobi réside principalement, et il a apporté d’importantes contributions de ce genre dans de nombreux domaines des mathématiques, comme le montre sa longue liste d’articles dans le Journal de Crelle et ailleurs à partir de 1826. Il aurait dit à ses étudiants que lorsqu’ils cherchaient un sujet de recherche, il fallait « Inverser, toujours inverser » (« man muss immer umkehren »), reflétant sa conviction que l’inversion des résultats connus peut ouvrir de nouveaux champs de recherche, par exemple inverser les intégrales elliptiques et se concentrer sur la nature des fonctions elliptiques et thêta.

Dans son article de 1835, Jacobi a prouvé le résultat de base suivant classant les fonctions périodiques (y compris elliptiques): Si une fonction à valeur unique univariée est multipliée périodique, alors une telle fonction ne peut pas avoir plus de deux périodes, et le rapport des périodes ne peut pas être un nombre réel. Il a découvert de nombreuses propriétés fondamentales des fonctions thêta, y compris l’équation fonctionnelle et la formule du triple produit de Jacobi, ainsi que de nombreux autres résultats sur les séries q et les séries hypergéométriques.

La solution du problème d’inversion de Jacobi pour la carte hyperelliptique d’Abel par Weierstrass en 1854 a nécessité l’introduction de la fonction thêta hyperelliptique et plus tard de la fonction thêta générale de Riemann pour les courbes algébriques de genre arbitraire. Le tore complexe associé à un genre g {\displaystyle g}

g

courbe algébrique, obtenue par quotientation de C g {\displaystyle{\mathbf{C}}^{g}}

{\ mathbf {C}} ^{g}

par le réseau de périodes est appelée la variété jacobienne. Cette méthode d’inversion, et son extension ultérieure par Weierstrass et Riemann à des courbes algébriques arbitraires, peut être considérée comme une généralisation de genre supérieur de la relation entre les intégrales elliptiques et les fonctions elliptiques de Jacobi ou de Weierstrass.

Carl Gustav Jacob Jacobi

Jacobi a été le premier à appliquer des fonctions elliptiques à la théorie des nombres, prouvant par exemple le théorème des deux carrés de Fermat et le théorème des quatre carrés de Lagrange, et des résultats similaires pour les carrés 6 et 8.Ses autres travaux en théorie des nombres ont poursuivi les travaux de C. F. Gauss: nouvelles preuves de réciprocité quadratique et introduction du symbole de Jacobi; contributions à des lois de réciprocité supérieures, enquêtes sur les fractions continues et invention des sommes de Jacobi.

Il a également été l’un des premiers fondateurs de la théorie des déterminants. En particulier, il a inventé le déterminant jacobien formé à partir des n2 dérivées partielles de n fonctions données de n variables indépendantes, qui joue un rôle important dans les changements de variables dans des intégrales multiples, et dans de nombreuses recherches analytiques. En 1841, il réintroduit la notation derivative dérivée partielle de Legendre, qui deviendra la norme.

Il a été l’un des premiers à introduire et à étudier les polynômes symétriques qui sont maintenant connus sous le nom de polynômes de Schur, donnant la formule dite bialternante pour ceux-ci, qui est un cas particulier de la formule des caractères de Weyl, et dérivant les identités de Jacobi–Trudi. Il a également découvert la formule de Desnanot-Jacobi pour les déterminants, qui sous-tend les relations de Plucker pour les Grassmanniens.

Les étudiants des champs de vecteurs, de la théorie de Lie, de la mécanique hamiltonienne et des algèbres d’opérateurs rencontrent souvent l’identité de Jacobi, l’analogue de l’associativité pour l’opération de parenthèse de Lie.

La théorie planétaire et d’autres problèmes dynamiques particuliers ont également occupé son attention de temps en temps. Tout en contribuant à la mécanique céleste, il a introduit l’intégrale de Jacobi (1836) pour un système de coordonnées sidéral. Sa théorie du dernier multiplicateur est traitée dans Vorlesungen über Dynamik, édité par Alfred Clebsch (1866).

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