jatko-opiskelija ratkaisee vuosikymmeniä vanhan Conwayn Solmuongelman

mutta maailmamme on neliulotteinen, jos laskemme mukaan ajan ulottuvuutena, joten on luonnollista kysyä, onko 4D-avaruudessa vastaavaa solmuteoriaa. Tässä ei ole kyse vain siitä, että otamme kaikki 3D-avaruudessa olevat solmut ja syöksemme ne alas 4D-avaruudessa: kun neljä ulottuvuutta liikkuu, mikä tahansa solmittu silmukka voidaan purkaa, jos säikeitä siirretään toistensa yli neljännessä ulottuvuudessa.

solmittuun kappaleeseen neliulotteisessa avaruudessa tarvitaan kaksiulotteinen pallo, ei yksiulotteista silmukkaa. Samoin kuin kolme ulottuvuutta antaa tarpeeksi tilaa solmittujen silmukoiden rakentamiselle, mutta ei tarpeeksi tilaa niiden purkamiselle, neljä ulottuvuutta tarjoavat tällaisen ympäristön solmutuille palloille, jotka matemaatikot rakensivat ensimmäisen kerran 1920-luvulla.

solmittua palloa on vaikea visualisoida 4D-avaruudessa, mutta se auttaa ensin ajattelemaan tavallista palloa 3D-avaruudessa. Jos leikkaat sen läpi, näet tuntemattoman silmukan. Mutta kun viillät solmitun pallon läpi 4D-avaruudessa, saatat sen sijaan nähdä solmitun silmukan (tai mahdollisesti tuntemattoman silmukan tai useamman silmukan linkin, riippuen siitä, missä viipaloit). Minkä tahansa solmun, jonka voit tehdä viipaloimalla solmutetun pallon, sanotaan olevan ”slice.”Jotkin solmut eivät ole viipaleita — esimerkiksi kolmiristeyssolmu, joka tunnetaan nimellä puuntaimi.

Viipalesolmut ”tarjoavat sillan solmuteorian kolmiulotteisten ja neliulotteisten tarinoiden välille”, Greene sanoi.

mutta siinä on ryppy, joka tuo neliulotteiseen tarinaan rikkautta ja erikoisuutta: 4D-topologiassa on kaksi eri versiota siitä, mitä tarkoittaa olla viipale. Sarjassa vallankumouksellista kehitystä 1980-luvun alussa (joka ansaitsi sekä Michael Freedman ja Simon Donaldson Fields mitalit), matemaatikot havaitsivat, että 4D — avaruus ei vain sisällä sileä aloilla me intuitiivisesti visualisoida-se sisältää myös aloilla niin pervasively rypistynyt, että ne eivät voisi koskaan silittää sileä. Kysymys siitä, mitkä solmut ovat viipale riippuu siitä, haluatko sisällyttää nämä rypistynyt pallot.

”nämä ovat hyvin, hyvin outoja esineitä, jotka tavallaan ovat olemassa taikuudella”, sanoi Shelly Harvey Ricen yliopistosta. (Se oli Harvey ’ s talk vuonna 2018, että Piccirillo sai tietää Conway solmu ongelma.)

nämä oudot pallot eivät ole neliulotteisen topologian bugi, vaan ominaisuus. Solmut, jotka ovat” topologisesti viipaleita ”mutta eivät” sujuvasti viipaleita ”— eli ne ovat siivu jostakin rypistyneestä pallosta, mutta eivät sileää — antavat matemaatikoille mahdollisuuden rakentaa niin sanottuja” eksoottisia ” versioita tavallisesta neliulotteisesta avaruudesta. Nämä neliulotteisen avaruuden kopiot näyttävät topologisesta näkökulmasta samalta kuin normaaliavaruus, mutta ovat peruuttamattomasti rypistyneitä. Näiden eksoottisten tilojen olemassaolo erottaa ulottuvuuden neljä kaikista muista ulottuvuuksista.

sliceness – kysymys on ”alin-ulotteinen luotain” näistä eksoottisista neliulotteisista avaruuksista, Greene sanoi.

vuosien mittaan matemaatikot löysivät joukon solmuja, jotka olivat topologisesti mutta eivät sulavasti siivutettuja. Solmujen joukossa, joissa oli 12 tai vähemmän risteyksiä, ei kuitenkaan näyttänyt olevan yhtään — lukuun ottamatta mahdollisesti Conwayn solmua. Matemaatikot pystyivät selvittämään kaikkien muiden solmujen viipaletilan 12: lla tai vähemmällä risteyksellä, mutta Conwayn solmu väisti ne.

COVID-19-tautiin viime kuussa kuollut Conway oli kuuluisa vaikuttavista panoksistaan matematiikan osa-alueella toisensa jälkeen. Hän kiinnostui solmuista ensimmäisen kerran teini-ikäisenä 1950-luvulla ja keksi yksinkertaisen tavan luetella periaatteessa kaikki solmut 11 risteykseen asti (aiemmat täydelliset luettelot olivat menneet vain 10 risteykseen).

listalla oli yksi solmu, joka erottui joukosta. ”Conway taisi tajuta, että siinä oli jotain aivan erityistä”, Greene sanoi.

Conwayn solmu, sellaisena kuin se tuli tunnetuksi, on topologisesti viipaloitu — matemaatikot tajusivat tämän 1980-luvun mullistavien löytöjen keskellä, mutta he eivät voineet selvittää, oliko se sulavasti viipaloitu. He epäilivät, että se ei ollut, koska se näytti puuttuu ominaisuus nimeltä ”ribbonness”, joka sujuvasti viipale solmut tyypillisesti on. Mutta se oli myös ominaisuus, joka teki siitä immuunin jokaiselle yrittää näyttää se ei ollut sujuvasti viipale.

nimittäin Conwayn solmulla on eräänlainen sisarus — niin sanottu mutantti. Jos piirrät Conway-solmun paperille, leikkaat siitä tietyn osan, käännät palasen ympäri ja liityt sen irtopäähän, saat toisen solmun, joka tunnetaan Kinoshita-Terasaka-solmuna.

Vastaa

Sähköpostiosoitettasi ei julkaista.