Estudiante de Posgrado Resuelve el Problema de Nudos Conway de décadas

Pero nuestro mundo es cuatridimensional si incluimos el tiempo como dimensión, por lo que es natural preguntar si hay una teoría correspondiente de nudos en el espacio 4D. Esto no es solo una cuestión de tomar todos los nudos que tenemos en el espacio 3D y sumergirlos en el espacio 4D: Con cuatro dimensiones para moverse, cualquier bucle anudado se puede desentrañar si los hilos se mueven entre sí en la cuarta dimensión.

Para hacer un objeto anudado en un espacio de cuatro dimensiones, se necesita una esfera bidimensional, no un bucle unidimensional. Así como las tres dimensiones proporcionan suficiente espacio para construir bucles anudados, pero no suficiente espacio para que se desenreden, las cuatro dimensiones proporcionan un entorno para las esferas anudadas, que los matemáticos construyeron por primera vez en la década de 1920.

Es difícil visualizar una esfera anudada en el espacio 4D, pero ayuda pensar primero en una esfera ordinaria en el espacio 3D. Si lo rebanas, verás un bucle desconocido. Pero cuando corta a través de una esfera anudada en el espacio 4D, es posible que vea un bucle anudado en su lugar (o posiblemente un bucle no anudado o un enlace de varios bucles, dependiendo de dónde corte). Cualquier nudo que puedas hacer cortando una esfera anudada se dice que es «rebanada».»Algunos nudos no son cortados, por ejemplo, el nudo de tres cruces conocido como trébol.

Los nudos de corte «proporcionan un puente entre las historias tridimensionales y cuadridimensionales de la teoría de nudos», dijo Greene.

Pero hay una arruga que le da riqueza y peculiaridad a la historia de cuatro dimensiones: En topología 4D, hay dos versiones diferentes de lo que significa ser rebanada. En una serie de desarrollos revolucionarios a principios de la década de 1980 (que ganaron las medallas de Michael Freedman y Simon Donaldson Fields), los matemáticos descubrieron que el espacio 4D no solo contiene las esferas lisas que visualizamos intuitivamente, sino que también contiene esferas tan arrugadas que nunca podrían plancharse lisas. La cuestión de qué nudos se cortan depende de si elige incluir estas esferas arrugadas.

» Estos son objetos muy, muy extraños, que existen por arte de magia», dijo Shelly Harvey de la Universidad Rice. (Fue en la charla de Harvey en 2018 que Piccirillo se enteró por primera vez del problema de los nudos de Conway.)

Estas extrañas esferas no son un error de topología cuatridimensional, sino una característica. Los nudos que son «rebanadas topológicas» pero no «rebanadas suaves», es decir, que son una rebanada de una esfera arrugada, pero no una lisa, permiten a los matemáticos construir las llamadas versiones» exóticas » del espacio cuatridimensional ordinario. Estas copias del espacio de cuatro dimensiones se ven igual que el espacio normal desde un punto de vista topológico, pero están irremediablemente arrugadas. La existencia de estos espacios exóticos distingue a la dimensión cuatro de todas las demás dimensiones.

La cuestión del corte es «la sonda de menor dimensión» de estos exóticos espacios de cuatro dimensiones, dijo Greene.

A lo largo de los años, los matemáticos descubrieron una variedad de nudos que eran topológicamente, pero no cortaban suavemente. Sin embargo, entre los nudos con 12 cruces o menos, no parecía haber ninguno, excepto posiblemente el nudo Conway. Los matemáticos podían averiguar el estado de corte de todos los otros nudos con 12 cruces o menos, pero el nudo Conway los eludía.

Conway, que murió de COVID-19 el mes pasado, fue famoso por hacer contribuciones influyentes a un área de las matemáticas tras otra. Se interesó por primera vez en los nudos cuando era adolescente en la década de 1950 y se le ocurrió una forma sencilla de enumerar esencialmente todos los nudos hasta 11 cruces (las listas completas anteriores habían llegado a solo 10 cruces).

En la lista había un nudo que destacaba. «Creo que Conway se dio cuenta de que había algo muy especial en ello», dijo Greene.

El nudo de Conway, como llegó a conocerse, es topológicamente cortado — los matemáticos se dieron cuenta de esto en medio de los descubrimientos revolucionarios de la década de 1980, pero no pudieron averiguar si era cortado suavemente. Sospechaban que no lo era, porque parecía carecer de una característica llamada «ribbonness» que típicamente tienen los nudos de corte suave. Pero también tenía una característica que lo hacía inmune a todo intento de mostrar que no se cortaba suavemente.

Es decir, el nudo de Conway tiene una especie de hermano, lo que se conoce como mutante. Si dibujas el nudo de Conway en papel, cortas una cierta porción del papel, volteas el fragmento y luego vuelves a unir sus cabos sueltos, obtienes otro nudo conocido como el nudo Kinoshita-Terasaka.

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