Conectividad

Los campos de matemáticas se ocupan típicamente de tipos especiales de objetos. A menudo se dice que un objeto de este tipo está conectado si, cuando se considera un espacio topológico, es un espacio conectado. Por lo tanto, las variedades, los grupos de mentiras y los gráficos se llaman conectados si están conectados como espacios topológicos, y sus componentes son los componentes topológicos. A veces es conveniente replantear la definición de conectividad en tales campos. Por ejemplo, se dice que un gráfico está conectado si cada par de vértices en el gráfico está unido por una ruta. Esta definición es equivalente a la topológica, aplicada a los gráficos, pero es más fácil de tratar en el contexto de la teoría de grafos. La teoría de grafos también ofrece una medida de conectividad libre de contexto, llamada coeficiente de agrupación.

Otros campos de las matemáticas se ocupan de objetos que rara vez se consideran espacios topológicos. Sin embargo, las definiciones de conectividad a menudo reflejan el significado topológico de alguna manera. Por ejemplo, en teoría de categorías, se dice que una categoría está conectada si cada par de objetos en ella está unido por una secuencia de morfismos. Por lo tanto, una categoría está conectada si es, intuitivamente, una sola pieza.

Puede haber diferentes nociones de conectividad que son intuitivamente similares, pero diferentes como conceptos formalmente definidos. Podríamos llamar a un espacio topológico conectado si cada par de puntos en él está unido por un camino. Sin embargo, esta condición resulta ser más fuerte que la conectividad topológica estándar; en particular, hay espacios topológicos conectados para los que esta propiedad no se sostiene. Debido a esto, se utiliza una terminología diferente; se dice que los espacios con esta propiedad están conectados por caminos. Si bien no todos los espacios conectados están conectados a la ruta, todos los espacios conectados a la ruta están conectados.

Los términos que implican conexión también se usan para propiedades que están relacionadas con, pero claramente diferentes de, la conectividad. Por ejemplo, un espacio topológico conectado a una trayectoria simplemente se conecta si cada bucle (trayectoria de un punto a sí mismo) en él es contráctil; es decir, intuitivamente, si esencialmente solo hay una forma de llegar desde cualquier punto a cualquier otro punto. Por lo tanto, una esfera y un disco están simplemente conectados, mientras que un toro no lo está. Como otro ejemplo, un grafo dirigido está fuertemente conectado si cada par ordenado de vértices está unido por un camino dirigido (es decir, uno que «sigue las flechas»).

Otros conceptos expresan la forma en que un objeto no está conectado. Por ejemplo, un espacio topológico está totalmente desconectado si cada uno de sus componentes es un solo punto.

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