Carl Gustav Jacob Jacobi

Uno de los mayores logros de Jacobi fue su teoría de las funciones elípticas y su relación con la función theta elíptica. Esto fue desarrollado en su gran tratado Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829), y en artículos posteriores en el Diario de Crelle. Las funciones Theta son de gran importancia en la física matemática debido a su papel en el problema inverso para flujos periódicos y cuasi-periódicos. Las ecuaciones de movimiento son integrables en términos de las funciones elípticas de Jacobi en los casos bien conocidos del péndulo, la parte superior de Euler, la parte superior simétrica de Lagrange en un campo gravitacional y el problema de Kepler (movimiento planetario en un campo gravitacional central).

También hizo contribuciones fundamentales en el estudio de las ecuaciones diferenciales y la mecánica clásica, en particular la teoría de Hamilton-Jacobi.

Fue en el desarrollo algebraico que el poder particular de Jacobi residía principalmente, e hizo importantes contribuciones de este tipo en muchas áreas de las matemáticas, como se muestra en su larga lista de artículos en el Diario de Crelle y en otros lugares desde 1826 en adelante. Se dice que les dijo a sus estudiantes que al buscar un tema de investigación, uno debería «Invertir, siempre invertir» («man muss immer umkehren»), reflejando su creencia de que invertir los resultados conocidos puede abrir nuevos campos para la investigación, por ejemplo, invertir integrales elípticas y centrarse en la naturaleza de las funciones elípticas y theta.

En su artículo de 1835, Jacobi demostró el siguiente resultado básico clasificando funciones periódicas (incluidas las elípticas): Si una función univariada de un solo valor es multiplicada periódica, entonces tal función no puede tener más de dos períodos, y la proporción de los períodos no puede ser un número real. Descubrió muchas de las propiedades fundamentales de las funciones theta, incluyendo la ecuación funcional y la fórmula de producto triple de Jacobi, así como muchos otros resultados en series q e hipergeométricas.

La solución del problema de inversión de Jacobi para el mapa hiperelíptico de Abel por Weierstrass en 1854 requirió la introducción de la función theta hiperelíptica y más tarde la función theta general de Riemann para curvas algebraicas de género arbitrario. El toro complejo asociado a un género g {\displaystyle g}

g

curva algebraica, obtenida cociendo C g {\displaystyle {\mathbf {C}} ^{g}}

{\mathbf {C}} ^{g}

por el entramado de períodos se conoce como la variedad jacobiana. Este método de inversión, y su posterior extensión por Weierstrass y Riemann a curvas algebraicas arbitrarias, puede verse como una generalización de género superior de la relación entre las integrales elípticas y las funciones elípticas de Jacobi o Weierstrass.

Carl Gustav Jacob Jacobi

Jacobi fue el primero en aplicar funciones elípticas a la teoría de números, por ejemplo probando el teorema de dos cuadrados de Fermat y el teorema de cuatro cuadrados de Lagrange, y resultados similares para 6 y 8 cuadrados.Su otro trabajo en teoría de números continuó el trabajo de C. F. Gauss: nuevas pruebas de reciprocidad cuadrática e introducción del símbolo Jacobi; contribuciones a leyes de reciprocidad superiores, investigaciones de fracciones continuas y la invención de sumas Jacobi.

también fue uno de los primeros fundadores de la teoría de los determinantes. En particular, inventó el determinante jacobiano formado a partir de las derivadas parciales n2 de n funciones dadas de n variables independientes, que juega un papel importante en los cambios de variables en integrales múltiples, y en muchas investigaciones analíticas. En 1841 reintrodujo la notación ∂ derivada parcial de Legendre, que se convertiría en estándar.

Fue uno de los primeros en introducir y estudiar los polinomios simétricos que ahora se conocen como polinomios de Schur, dando la llamada fórmula bialterna para estos, que es un caso especial de la fórmula de caracteres de Weyl, y derivando las identidades Jacobi-Trudi. También descubrió la fórmula Desnanot-Jacobi para los determinantes, que subyacen a las relaciones de Desplumador para los Grassmanianos.

Los estudiantes de campos vectoriales, teoría de Lie, mecánica hamiltoniana y álgebras de operadores a menudo encuentran la identidad Jacobi, el análogo de la asociatividad para la operación de corchete de Lie.

La teoría planetaria y otros problemas dinámicos particulares ocupaban igualmente su atención de vez en cuando. Mientras contribuía a la mecánica celeste, introdujo la integral de Jacobi (1836) para un sistema de coordenadas siderales. Su teoría del último multiplicador se trata en Vorlesungen über Dynamik, editado por Alfred Clebsch (1866).

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