Doktorand löst jahrzehntelanges Conway-Knotenproblem

Aber unsere Welt ist vierdimensional, wenn wir die Zeit als Dimension einbeziehen, daher ist es natürlich zu fragen, ob es eine entsprechende Theorie von Knoten im 4D-Raum gibt. Dabei geht es nicht nur darum, alle Knoten, die wir im 3D-Raum haben, in den 4D-Raum zu stürzen: Mit vier Dimensionen, in denen man sich bewegen kann, kann jede geknotete Schleife entwirrt werden, wenn Stränge in der vierten Dimension übereinander bewegt werden.

Um ein verknotetes Objekt im vierdimensionalen Raum zu erstellen, benötigen Sie eine zweidimensionale Kugel und keine eindimensionale Schleife. So wie drei Dimensionen genug Platz bieten, um verknotete Schleifen zu bauen, aber nicht genug Platz, um sie zu entwirren, bieten vier Dimensionen eine solche Umgebung für verknotete Kugeln, die Mathematiker erstmals in den 1920er Jahren konstruierten.

Es ist schwierig, eine verknotete Kugel im 4D-Raum zu visualisieren, aber es hilft, zuerst über eine gewöhnliche Kugel im 3D-Raum nachzudenken. Wenn Sie es durchschneiden, sehen Sie eine unbekannte Schleife. Wenn Sie jedoch eine geknotete Kugel im 4D-Raum durchschneiden, wird möglicherweise stattdessen eine geknotete Schleife angezeigt (oder möglicherweise eine nicht geknotete Schleife oder eine Verknüpfung mehrerer Schleifen, je nachdem, wo Sie schneiden). Jeder Knoten, den Sie durch Schneiden einer geknoteten Kugel machen können, wird als „Scheibe“ bezeichnet.“ Einige Knoten sind nicht gekreuzt — zum Beispiel der drei kreuzende Knoten, der als Kleeblatt bekannt ist.

Slice Knots „bieten eine Brücke zwischen den dreidimensionalen und vierdimensionalen Geschichten der Knotentheorie“, sagte Greene.

Aber es gibt eine Falte, die der vierdimensionalen Geschichte Reichtum und Besonderheit verleiht: In der 4D-Topologie gibt es zwei verschiedene Versionen dessen, was es bedeutet, Slice zu sein. In einer Reihe revolutionärer Entwicklungen in den frühen 1980er Jahren (die sowohl Michael Freedman als auch Simon Donaldson Fields Medals einbrachten) entdeckten Mathematiker, dass der 4D—Raum nicht nur die glatten Kugeln enthält, die wir intuitiv visualisieren – er enthält auch Kugeln, die so durchdringend zerknittert sind, dass sie niemals glatt gebügelt werden könnten. Die Frage, welche Knoten besser sind, hängt davon ab, ob Sie diese zerknitterten Kugeln einschließen.

„Das sind sehr, sehr seltsame Objekte, die irgendwie durch Magie existieren“, sagte Shelly Harvey von der Rice University. (Bei Harveys Vortrag im Jahr 2018 erfuhr Piccirillo zum ersten Mal von dem Conway-Knotenproblem.)

Diese seltsamen Kugeln sind kein Fehler der vierdimensionalen Topologie, sondern ein Merkmal. Knoten, die „topologisch geschnitten“, aber nicht „glatt geschnitten“ sind — was bedeutet, dass sie eine Scheibe einer zerknitterten Kugel sind, aber keine glatte —, ermöglichen es Mathematikern, sogenannte „exotische“ Versionen des gewöhnlichen vierdimensionalen Raums zu erstellen. Diese Kopien des vierdimensionalen Raums sehen aus topologischer Sicht genauso aus wie der normale Raum, sind jedoch unwiederbringlich zerknittert. Die Existenz dieser exotischen Räume unterscheidet Dimension vier von allen anderen Dimensionen.

Die Frage der sliceness ist „die niedrigste dimensionale Sonde“ dieser exotischen vierdimensionalen Räume, sagte Greene.

Im Laufe der Jahre entdeckten Mathematiker eine Reihe von Knoten, die topologisch, aber nicht glatt verteilt waren. Unter Knoten mit 12 oder weniger Kreuzungen schien es jedoch keine zu geben – außer möglicherweise dem Conway-Knoten. Mathematiker konnten den Slice-Status aller anderen Knoten mit 12 oder weniger Kreuzungen herausfinden, aber der Conway-Knoten entging ihnen.

Conway, der letzten Monat an COVID-19 starb, war berühmt dafür, einflussreiche Beiträge zu einem Bereich der Mathematik nach dem anderen geleistet zu haben. Er begann sich als Teenager in den 1950er Jahren für Knoten zu interessieren und entwickelte eine einfache Möglichkeit, im Wesentlichen alle Knoten bis zu 11 Kreuzungen aufzulisten (frühere vollständige Listen waren nur auf 10 Kreuzungen gestiegen).

Auf der Liste stand ein Knoten, der auffiel. „Conway, glaube ich, erkannte, dass es etwas ganz Besonderes war“, sagte Greene.

Der Conway-Knoten, wie er bekannt wurde, ist topologisch in Scheiben geschnitten — Mathematiker erkannten dies inmitten der revolutionären Entdeckungen der 1980er Jahre. Aber sie konnten nicht herausfinden, ob es sich um eine Scheibe handelte. Sie vermuteten, dass dies nicht der Fall war, da es an einer Funktion namens „Ribbonness“ zu fehlen schien, die glatt geschnittene Knoten normalerweise haben. Es hatte aber auch eine Funktion, die es immun gegen jeden Versuch machte, zu zeigen, dass es nicht reibungslos lief.

Der Conway-Knoten hat nämlich eine Art Geschwister – eine sogenannte Mutante. Wenn Sie den Conway-Knoten auf Papier zeichnen, einen bestimmten Teil des Papiers ausschneiden, das Fragment umdrehen und dann die losen Enden wieder verbinden, erhalten Sie einen weiteren Knoten, der als Kinoshita-Terasaka-Knoten bekannt ist.

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