Carl Gustav Jacob Jacobi

Eine der größten Errungenschaften Jacobis war seine Theorie der elliptischen Funktionen und ihrer Beziehung zur elliptischen Theta-Funktion. Dies wurde in seiner großen Abhandlung Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829) und in späteren Arbeiten in Crelle’s Journal entwickelt. Theta-Funktionen sind in der mathematischen Physik wegen ihrer Rolle im inversen Problem für periodische und quasiperiodische Strömungen von großer Bedeutung. Die Bewegungsgleichungen sind in Bezug auf Jacobis elliptische Funktionen in den bekannten Fällen des Pendels, der Euler-Spitze, der symmetrischen Lagrange-Spitze in einem Gravitationsfeld und des Kepler-Problems (Planetenbewegung in einem zentralen Gravitationsfeld) integrierbar.

Er leistete auch grundlegende Beiträge zum Studium der Differentialgleichungen und zur klassischen Mechanik, insbesondere zur Hamilton–Jacobi-Theorie.

Es war in der algebraischen Entwicklung, dass Jacobi ‚ s besondere Macht vor allem lag, und er machte wichtige Beiträge dieser Art in vielen Bereichen der Mathematik, wie durch seine lange Liste von Papieren in Crelle’s Journal und anderswo ab 1826. Er soll seinen Studenten gesagt haben, dass man bei der Suche nach einem Forschungsthema ‚Umkehren, immer umkehren‘ sollte, was seine Überzeugung widerspiegelt, dass die Umkehrung bekannter Ergebnisse neue Forschungsfelder eröffnen kann, zum Beispiel die Umkehrung elliptischer Integrale und die Fokussierung auf die Natur von elliptischen und Theta-Funktionen.

In seiner Arbeit von 1835 bewies Jacobi das folgende grundlegende Ergebnis, das periodische (einschließlich elliptische) Funktionen klassifiziert: Wenn eine univariate einwertige Funktion mehrfach periodisch ist, dann kann eine solche Funktion nicht mehr als zwei Perioden haben, und das Verhältnis der Perioden kann keine reelle Zahl sein. Er entdeckte viele der grundlegenden Eigenschaften von Theta-Funktionen, einschließlich der Funktionsgleichung und der Jacobi-Dreifachproduktformel, sowie viele andere Ergebnisse zu q-Reihen und hypergeometrischen Reihen.

Die Lösung des Jacobi-Inversionsproblems für die hyperelliptische Abel-Karte durch Weierstraß im Jahr 1854 erforderte die Einführung der hyperelliptischen Theta-Funktion und später der allgemeinen Riemann-Theta-Funktion für algebraische Kurven beliebiger Gattung. Der komplexe Torus einer Gattung g {\displaystyle g}}

g

algebraische Kurve, erhalten durch Quotient von C g {\displaystyle {\mathbf {C} }^{g}}

{\ mathbf {C} } ^{g}

durch das Gitter der Perioden wird als Jacobische Varietät bezeichnet. Diese Methode der Inversion und ihre anschließende Erweiterung durch Weierstraß und Riemann auf beliebige algebraische Kurven kann als eine höherwertige Verallgemeinerung der Beziehung zwischen elliptischen Integralen und den elliptischen Jacobi- oder Weierstraß-Funktionen angesehen werden.

Carl Gustav Jacob Jacobi

Jacobi war der erste, der elliptische Funktionen auf die Zahlentheorie anwendete, zum Beispiel den Zwei-Quadrat-Satz von Fermat und den Vier-Quadrat-Satz von Lagrange und ähnliche Ergebnisse für 6 und 8 Quadrate.Seine andere Arbeit in der Zahlentheorie setzte die Arbeit von C. F. Gauss: neue Beweise der quadratischen Reziprozität und Einführung des Jacobi-Symbols; Beiträge zu höheren Reziprozitätsgesetzen, Untersuchungen fortgesetzter Brüche und die Erfindung von Jacobi-Summen.

Er war auch einer der frühen Begründer der Determinantentheorie. Insbesondere erfand er die Jacobische Determinante, die aus den n2 partiellen Ableitungen von n gegebenen Funktionen von n unabhängigen Variablen gebildet wurde, die eine wichtige Rolle bei Änderungen von Variablen in mehreren Integralen und bei vielen analytischen Untersuchungen spielt. 1841 führte er die partielle derivative notation-Notation von Legendre wieder ein, die Standard werden sollte.

Er war einer der ersten, der die symmetrischen Polynome, die heute als Schur-Polynome bekannt sind, einführte und untersuchte, die sogenannte bialternante Formel für diese, die ein Sonderfall der Weyl–Charakterformel ist, und die Jacobi-Trudi-Identitäten ableitete. Er entdeckte auch die Desnanot-Jacobi-Formel für Determinanten, die den Plucker-Beziehungen für Grassmannianer zugrunde liegen.

Studierende der Vektorfelder, der Lie-Theorie, der Hamilton-Mechanik und der Operatoralgebren stoßen häufig auf die Jacobi-Identität, das Analogon der Assoziativität für die Lie-Klammeroperation.

Planetentheorie und andere besondere dynamische Probleme beschäftigten ihn ebenfalls von Zeit zu Zeit. Während er zur Himmelsmechanik beitrug, führte er das Jacobi-Integral (1836) für ein Sternkoordinatensystem ein. Seine Theorie des letzten Multiplikators wird in behandelt Vorlesungen über Dynamik, herausgegeben von Alfred Clebsch (1866).

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