Carl Gustav Jacob Jacobi

een van Jacobi ‘ s grootste prestaties was zijn theorie van elliptische functies en hun relatie tot de elliptische Theta-functie. Dit werd ontwikkeld in zijn grote verhandeling Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829), en in latere artikelen in Crelle ‘ s Journal. Theta functies zijn van groot belang in de wiskundige fysica vanwege hun rol in het inverse probleem voor periodieke en quasi-periodieke stromen. De bewegingsvergelijkingen zijn integreerbaar in termen van Jacobi ‘ s elliptische functies in de bekende gevallen van de slinger, de Euler top, de symmetrische Lagrange top in een gravitatieveld en het Kepler probleem (planetaire beweging in een centraal gravitatieveld).Hij leverde ook fundamentele bijdragen aan de studie van differentiaalvergelijkingen en aan de klassieke mechanica, met name de Hamilton–Jacobi-theorie.Het was in de algebraïsche ontwikkeling dat Jacobi ’s bijzondere kracht voornamelijk lag, en hij leverde belangrijke bijdragen van deze aard op vele gebieden van de wiskunde, zoals blijkt uit zijn lange lijst van artikelen in Crelle’ s Journal en elders vanaf 1826. Hij zou zijn studenten verteld hebben dat men bij het zoeken naar een onderzoeksonderwerp ‘Invert, always invert’ (‘man muss immer umkehren’) zou moeten ‘omkeren, altijd omkeren’, wat zijn overtuiging weerspiegelt dat het omkeren van bekende resultaten nieuwe onderzoeksgebieden kan openen, bijvoorbeeld het omkeren van elliptische integralen en het focussen op de aard van elliptische en theta-functies.

in zijn artikel uit 1835 bewees Jacobi het volgende basisresultaat voor het classificeren van periodieke (inclusief elliptische) functies:als een univariate functie met één waarde vermenigvuldigd periodiek is, dan kan een dergelijke functie niet meer dan twee perioden hebben en kan de verhouding van de perioden geen reëel getal zijn. Hij ontdekte veel van de fundamentele eigenschappen van theta-functies, waaronder de functionele vergelijking en de Jacobi triple productformule, evenals vele andere resultaten op q-series en hypergeometrische series.

de oplossing van het Jacobi-inversieprobleem voor de hyperellliptische Abel-afbeelding door Weierstrass in 1854 vereiste de introductie van de hyperellliptische Theta-functie en later de Algemene Riemann-Theta-functie voor algebraïsche krommen van willekeurige genus. De complexe torus geassocieerd met een geslacht g {\displaystyle g}

g

algebraïsche kromme, verkregen door quotiënt van C g {\displaystyle {\mathbf {C} }^{g}}

{\mathbf {C}} ^{g}

door het rooster van perioden wordt aangeduid als de Jakobische variëteit. Deze methode van inversie, en haar latere uitbreiding door Weierstrass en Riemann tot willekeurige algebraïsche krommen, kan worden gezien als een hogere genus-generalisatie van de relatie tussen elliptische integralen en de Jacobi-of Weierstrass-elliptische functies.

meer beltonen van Gustav Mahler

Jacobi was de eerste die elliptische functies toepaste op de getaltheorie, bijvoorbeeld het bewijzen van de twee-kwadratenstelling van Fermat en de vier-kwadratenstelling van Lagrange, en vergelijkbare resultaten voor 6 en 8 kwadraten.Zijn andere werk in de getaltheorie zette het werk van C. F. Gauss voort.: nieuwe bewijzen van kwadratische wederkerigheid en invoering van het Jacobi-symbool; bijdragen aan hogere wederkerigheidswetten, onderzoeken van voortdurende breuken en de uitvinding van Jacobi-sommen.Hij was ook een van de eerste grondleggers van de theorie van determinanten. In het bijzonder bedacht hij de Jacobiaanse determinant gevormd uit de N2 partiële derivaten van n gegeven functies van n onafhankelijke variabelen, die een belangrijke rol speelt in veranderingen van variabelen in meerdere integralen, en in vele analytische onderzoeken. In 1841 introduceerde hij de gedeeltelijke afgeleide ∂ – notatie van Legendre, die standaard zou worden.

hij was een van de eersten die de symmetrische veeltermen introduceerde en bestudeerde die nu bekend staan als Schur-veeltermen, waarbij hij de zogenaamde bialternante formule voor deze, wat een speciaal geval is van de Weyl–karakterformule, gaf en de Jacobi-Trudi identiteiten afleidde. Hij ontdekte ook de desnanot-Jacobi formule voor determinanten, die ten grondslag liggen aan de Plucker relaties voor Grassmannianen.

studenten van vectorvelden, Lie-theorie, Hamiltonmechanica en operatoralgebra ‘ s komen vaak de Jacobi-identiteit tegen, het analoog van associativiteit voor de Lie-beugeloperatie.Ook de Planetentheorie en andere bijzondere dynamische problemen hielden van tijd tot tijd zijn aandacht. Terwijl hij bijdroeg aan de hemelse mechanica, introduceerde hij de Jacobi-integraal (1836) voor een siderisch coördinatenstelsel. Zijn theorie van de laatste vermenigvuldiger wordt behandeld in Vorlesungen über Dynamik, uitgegeven door Alfred Clebsch (1866).

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.